Cours d’algèbre Maths1

           

        

 Cours d’algèbre Maths1 

                             

          LMD Sciences et Techniques 

             Par  M. Mechab 

Table des matières 

1    ELÉMENTS DE LOGIQUE                                                                                                                 5 

     1.1     Opérations Logiques              . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .      5 

               1.1.1   La négation            ¬  :      .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .      5 

               1.1.2   La Conjonction               ∧   .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .      6 

               1.1.3   La Disjonction  ∨  :             .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .      7 

               1.1.4    Règles de De Morgan  .  .            .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .      7 

               1.1.5   L’Implication  =⇒  :                  .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .      8 

               1.1.6   La contraposée.  .            .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .      8 

               1.1.7    La réciproque         . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .      9 

     1.2     Propriétés des opérations logiques  .  .                .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .      9 

2    ELÉMENTS DE LA THÉORIE  DES ENSEMBLES                                                                                              13 

     2.1     Les Ensembles  .  .         .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .    13 

               2.1.1   Les quantificateurs            .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .     14 

               2.1.2   Parties d’un ensemble               . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .     14 

               2.1.3   Opérations sur les ensembles  .               .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .     15 

     2.2     Applications et Fonctions .             .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .     18 

               2.2.1   Composition d’applications                  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .     20 

               2.2.2   Restriction et prolongement d’une application                         . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .     21 

               2.2.3   Images et images réciproques                  .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .     21 

               2.2.4   Applications injectives, surjectives, bijectives  .  .                  .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .     24 

               2.2.5   Fonctions         .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .    28 

3    Relations binaires       

 3.1     Relations d’équivalence            .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .     29 

               3.1.1   Décomposition d’une  application  .                        .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .     32 

     3.2     Relations d’ordre           .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .    33 

               3.2.1   Plus petit, Plus grand élément  .  .               .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .     34 

               3.2.2   Eléments Minimaux et éléments maximaux  .    .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .     36 

               3.2.3   Borne Inférieure, Borne Supérieure     .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  . .  . .  .  . .  .  .     37 

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